Polgar 2

Gondolkodni jó!

2012. május 23.
Rovatunkban terveink szerint fizikai mennyiségek mentén szerveződve morfondírozgatunk, gondolkodtatunk el, mottónk szerint.

Mottó: Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, szellemi tevékenységről. A matematika tanulása érzelmi és motivációs vonatkozásokban is formálja, gazdagítja a személyiséget, a gondolkodást, alkalmazásra képes tudást hoz létre. A matematikai gondolkodás fejlesztése emeli a gondolkodás általános kultúráját.

A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása.

 A matematika:
                — kulturális örökség;
                — gondolkodásmód;
                — alkotó tevékenység;
                — a gondolkodás örömének forrása;
                — a mintákban, struktúrákban tapasztalható rend és esztétikum      
                    megjelenítője;
                — önálló tudomány;
                — más tudományok segítője;
                — a mindennapi élet része és a szakmák eszköze.
A matematikai ismeretek magukban foglalják a számok, mértékek, struktúrák, az alapműveletek és az alapvető matematikai fogalmak, jelölések és összefüggések készség szintű ismeretét. (NAT)

 

Rovatunkban fizikai mennyiségek mentén szerveződve gondolkodtatunk el, morfondírozgatunk, mottónk szerint.
Kezdetben volt (van, lesz) az idő. Miért épp ez? A NAT-tervezetben is először ezen akad meg a szemünk: „Időtartam mérése egyenletes tempójú mozgással, hanggal; szabványos egységekkel (másodperc, perc, óra, nap, hét, hónap, év, évtized).”
Elképzeltem:
– Sanyi, te masírozz másodpercenként egyet lépegetve, Márta, te dobbants percenként, Borika, csengess egyenletesen óránként, Pisti sípoljon rendszeresen egyet naponta, …, Rózsika, kiálts évente, Ödön, te csak tapsolj ütemesen egyet-egyet évtizedenként!

Három szösszenet az időről

1. Naptár
Most, hogy közeleg a tanév vége, már megjelentek a következő évi, 2012/13-as tanári zsebkönyvek. Ezzel kapcsolatban kaptuk az alábbi tréfálkozó, de egyben elgondolkodtató levelet:

„A fiókomat rendezgetve kezembe akadt egy üres 2011/12-es tanári zsebkönyv. Önöktől, a Műszaki Kiadótól is kaptam egy zsebkönyvet, és mivel az mind tartalmában, mind kivitelében sokkal jobban tetszett, ezért az év során az önökét használtam. De így ez a másik megmaradt. Az üres, félretett zsebkönyvet viszont sajnálom kidobni; emlékszem, idősebb kollégáim egy-egy régebbi határidőnaplót vettek mindig elő, amelyben a dátumok az adott évben a hét megfelelő napjaira estek. Kérem a segítségét, hogy mikor tudom ezt az üreset újra felhasználni? Megérem esetleg tanárként én azt, vagy inkább dobjam ki?”

A kolléga kérdésére megpróbálok használható választ adni:
Két naptár összevetéséhez többnyire elég lenne megnéznünk, hogy egy adott nap, pl. január 1-je a hét melyik napjára esik, és hogy szökőévről van-e szó. Ez tanári zsebkönyveknél is jó lehetne, csakhogy 2012 épp szökőév, és erre a tanévre esett a szökőnap is. „Ha jól emlékszem”, legutóbb az 1983/1984-es zsebkönyvekben álltak ugyanígy a napok. Ha valakinek maradt akkor üres határidőnaplója, most újra használhatta. Tudom, ott még más napok voltak piros betűsek: április 4., november 7., na meg a húsvét is 22-ére esett 1984 áprilisában. Ez könnyen kiszámolgatható, mivel a szökőévek rendszerint 28 évente követik a hét megegyező napjára eső január 1. vagy éppen február 29-ével egymást. Rendszerint, de nem rend szerint, hiszen a rendszer ennél egy kicsit bonyolultabb a Gergely-naptár 1582-es bevezetése óta.

Erre jó példa, ha az elővett régi tanári zsebkönyvben a húsvét napját is ugyanazon dátum alatt szeretné látni: legutóbb olyan szökőév, amikor a húsvét is április 8-ára esett, 1928-ban volt, előtte meg 1860-ban. (Ha maradt akkorról üres naptára, akkor érdemes volt most elhasználni, mert húsvétot is nézve legközelebb 2164-ben lesz rá lehetőség. Sajnos nem időben, már utólag szólok.) Matekosként biztos feltűnik, hogy míg 1928 és 2012 különbsége osztható 28-cal, de az 1860 és 1928 között eltelt 68 év nem. A magyarázat a Gergely-naptár 400 éves ciklusában található: a 400-zal nem osztható, de 100-zal osztható évek sem szökőévek, tehát míg a 2000-es év a kivétel kivételeként 366 napos volt, az 1900 és 2100 kivételként csak 365 napból áll.

Miért foglalkozunk komolyabban is a kérdéssel? A naptár témakör már alsótól indulva bontogatható, először csak a hetes ciklus felfedezéséhez, majd a 365 napos évnek a 7-es maradékából adódó 1 nap eltolódásról, így az egymást követő évek naptárainak különbözőségére való ráeszmélésre adunk lehetőséget tanítványainknak. Tovább számolgatva az idő fogalmának meg nem élt tágulását is megtapasztalhatják, míg az idő mint mérhető, de szemmel nem látható mennyiség számolgatása, számíthatósága egy az emberi kultúra és tudás alapvető absztrahálódási szintjét jelenti, a gyermek a matematika mint tudomány egyik kialakítóját ismerheti meg. Felső tagozaton, középiskolában is szemléletformáló erejű, hiszen történelmi távlatokban gondolkodni képtelen gyerekekből saját életüket tervezni képes, pályát választani tudó embereket szeretnénk nevelni.

A nemrégiben elfogadott NAT alapján:
 

1.2. Tájékozódás az időben
 


 

Más kérdések is fölvetődhetnek még tisztán csak számolgatásra, pl.:
• Hány napból áll egymás után következő 400 év?
(400 × 365 + 100 – 3 = 146 097 nap, tehát kereken 20 871 hét) 

2. A legidősebb ember

Időről időre felröppenő hírek szólnak arról, hogy elhunyt X.Y., a világ legidősebb embere. Más alkalmakkor a hír arról szól, hogy találtak vagy ismernek egy még nála is bizonyítottan öregebbet. A 110. születésnapjukon az idős embereket ún. szupercentenáriumukon köszöntik, és amennyiben „hitelesített” az életkoruk, egy az ilyen adatokat gyűjtő társaság listájára veszi őket. Ez persze tekinthető egyesek morbid játékszerének is, de mint mindnyájan valahol egyedként, statisztikai információ hordozójaként szereplünk, ők, akik a korfa csúcsának a legtetejére kerültek, számunkra is érdekesek lehetnek.
Vajon hány ember él még (hitelesítve) a Földön a 19. században születettek közül?
E lista szerint 2012. május 9-én már csak 24-en! A lista élén az amerikai Besse Cooper, aki az egyetlen élő ember, aki 1896-ban született. Az utolsó férfi, aki még 1896-ban született, már 2011-ben meghalt, ő Walter Breuning volt.
Miért lehetnek ezek érdekesek az idő mint fogalom vizsgálatán túl? A matematikaórákon, de tantárgytól függetlenül is statisztikai ábrákat, korfákat, demográfiai adatokat elemezhetünk, melyek elöregedő társadalmunkban egyéb felismerésekre is teret nyitnak. Hosszú életet megélt személyek sorsát is lehet kutatni tanulságot keresve: Walter Breuningot 1960-ban, 64 éves korában daganattal kezelték, de nem adta föl. Az adatokat gyűjtögető szervezetek kimutatást vezetnek pl. arról is, hogy mely országnak ki a legidősebb lakosa. A táblázat egyik oszlopa mutatja, hogy W (white), O (oriental, pl. japán), I (indian) vagy esetleg B (black) rasszhoz tartozik-e az idős személy.
(Igen, erről nekünk is a Bob Dylan-dal magyar fordítása jutott eszünkbe: „Hány évig élhet egy ember a földön, míg nem nézik bőre színét?”…)
 

Linkajánló:
http://www.grg.org/ (GERONTOLOGY RESEARCH GROUP)
http://www.grg.org/Adams/E.HTM
http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_living_supercentenarians


Vajon van magyar ember is, akinek szupercentenáriumát ünnepelhettük?
Igen, 2012. április 27-én töltötte be 110. évét Kudász Jánosné Guba Ilona, Magyarország legidősebb embere, jó egészséget kívánunk neki!

3. Kabócák

A matematikai kompetencia képessé tesz arra, hogy felismerjük az alapvető matematikai elveket és törvényszerűségeket a természetben.
(NAT)

Persze az élővilágban sem csak az emberi fajnál fordulnak elő naptári rendszerű visszatérő ismétlődések és meglepően hosszú élet. A következő feladatot a 7.-es Gyakorlóból választottuk:

1.133.  Megfigyelték, hogy bizonyos kabócafajok más-más kifejlődési időszakaszok szerint élnek. Kirajzáskor a kabócák a növényzet jelentős részét elpusztítják, de szerencsére ez csak az életük utolsó évében történik, addig a föld alatt fejlődnek. Az amerikai Tibicen septemdecimus kabócafaj a leghosszabb ideig fejlődő gerinctelen állat, fejlődése 17 évig tart, egy másik faj 13 évente rajzik.

a) Hány év telik el két olyan kirajzás között, amikor mind a két kabócafaj megjelenik?
b) Amerika felfedezése óta legfeljebb hányszor fordulhatott elő, hogy egy évben mind a két kabócafaj pusztított?

Az a) kérdésre a tanár számára egyszerűnek tűnő válasz, hogy 13 × 17 = 221 év.
Valójában a helyzet nem is ilyen egyszerű, mégis a matematikai háttere miatt még szebb.
A két kabócafaj (tibicen, vagy más néven cicada) egy-egy populációját vagy talán alfaját a kirajzások évei szerint különböztetik meg. A Septemdecimusnak így 17 – római számokkal megkülönböztetett – csoportja, külön elnevezéssel broodja van (magyarítva inkább népét mondanék), pl. az I. broodba tartozók épp az idén, 2012-ben rajzanak, előtte 1995-ben, 1978-ban stb.
A II. brood 2013-ban, a III. brood 2014-ben várható, de az élővilág sérülékenységét mutatja, hogy mára csak 12 brood maradt, pl. a XI. csoportból utoljára 1954-ben találtak egyedeket, azóta őket kihaltnak tekintik, míg a XV.-ről utolsó feljegyzések talán 1897-ből származnak.
A 13 évenként kirajzók csoportjait folytatólagos számozással XVIII–XXX-ig számoznák, de közülük már csak a XIX. (2011), XXII. (2014) és a XXIII. (2015) maradt, a XXI.-et 1870-ben észlelték még, azóta kihaltnak nyilvánították. A két faj tehát szépen bemutatja a maradékosztályait a 13-nak és a 17-nek, de a tények teljesebb ismeretében már nem is olyan egyszerű a válasz a b) kérdésre, az igazság pedig talán az amerikai kutatók számára sem ismert.
Legyen hát a módosított b*) kérdés:

A következő száz évben (2013–2112-ig) hányszor fordul elő, hogy egy évben mind a két kabócafajt észlelik, (ha addig a most még létező broodok, kabócanépek nem pusztulnak ki)?

Ajánlott linkek:
http://www.magicicada.org/about/brood_pages/broods.php
http://en.wikipedia.org/wiki/Magicicada

A különböző kabócanépek élettere jellemzően eltér, talán ez sem véletlen, lehet, hogy a 221 évente azonos helyen megjelent 17 éves és 13 éves broodok közül hamarabb kirajzók felették egy aszályosabb évben a másik elől a táplálékot?
Ha az életciklusok nem prímszámok lennének, sűrűbben találkoztak volna, ezért a Kabócák Közös Többszörös Klubja valószínűleg nem az együttműködés színtere volt.

Vajon Besse Cooper hányszor látta rajzani a kabócákat, és hányszor használhatta újra születési évének naptárát?
 



 
Műszaki Kiadó ® 2010 • Minden jog fenntartva